Descubra Os Valores De X Que Anulam A Expressão X(x – 3)(x + 5)(x² + 4)

Ei, pessoal! Já se pegaram encarando uma expressão matemática complexa e se perguntando por onde começar? Relaxem, estamos aqui para desvendar esse mistério juntos! Hoje, vamos mergulhar em uma expressão bem interessante: x(x – 3)(x + 5)(x² + 4). Nossa missão? Descobrir quais valores de x fazem essa belezinha ser igual a zero. Parece complicado, mas prometo que, com um pouco de raciocínio, vamos dominar essa questão!

Desvendando os Segredos da Expressão

Antes de tudo, vamos entender o que temos aqui. A expressão é uma multiplicação de vários termos que dependem de x. Para que o resultado dessa multiplicação seja zero, pelo menos um desses termos precisa ser zero. Essa é a chave para resolver o problema! Vamos analisar cada termo individualmente para ver como os diferentes valores de x os afetam e, crucialmente, quais valores os zeram.

Explorando os Termos e Suas Raízes

1. O Termo x: Este é o mais direto. Se x for zero, o termo x se torna zero, e toda a expressão vai para o espaço, virando zero também. Simples assim!

2. O Termo (x – 3): Aqui, a coisa fica interessante. Para que este termo seja zero, precisamos que x seja igual a 3. Pensem comigo: se substituirmos x por 3, teremos (3 – 3), que é igual a zero. Bingo!

3. O Termo (x + 5): Similar ao anterior, mas com um toque diferente. Para zerar este termo, x precisa ser igual a -5. Se fizermos a substituição, (-5 + 5) se torna zero. Estamos pegando o jeito, hein?

4. O Termo (x² + 4): Este é um pouco diferente dos outros. Para que x² + 4 seja zero, precisaríamos que x² fosse igual a -4. Agora, aqui está o pulo do gato: não existe nenhum número real que, quando elevado ao quadrado, resulta em um número negativo. Por quê? Porque qualquer número real (positivo ou negativo) elevado ao quadrado sempre dá um resultado positivo ou zero. Portanto, este termo nunca será zero para valores reais de x. Esse termo é uma pegadinha clássica, mas não nos deixamos enganar, certo?

Colocando as Peças no Lugar: A Influência de Cada Valor

Agora que dissecamos cada termo, podemos ver claramente como os valores de x influenciam a expressão como um todo. Os valores que zeram a expressão são aqueles que tornam pelo menos um dos termos multiplicados igual a zero. Identificamos três candidatos: 0, 3 e -5. O termo (x² + 4) nunca entra na dança do zero, então podemos deixá-lo de lado na nossa busca por soluções reais.

Testando os Candidatos a Zero

Para ter certeza absoluta, vamos testar cada um dos valores que encontramos na expressão original:

• Se x = 0: A expressão se torna 0.(0 – 3).(0 + 5).(0² + 4) = 0. Check! Zero funciona.
• Se x = 3: A expressão fica 3.(3 – 3).(3 + 5).(3² + 4) = 3.0.8.13 = 0. Mais um para a conta!
• Se x = -5: A expressão se transforma em -5.(-5 – 3).(-5 + 5).((-5)² + 4) = -5.(-8).0.29 = 0. Bingo novamente!
• Valores como 5 não zeram a expressão: Se tentarmos x = 5, a expressão fica 5.(5 – 3).(5 + 5).(5² + 4) = 5.2.10.29, que definitivamente não é zero. Este é um exemplo de como um valor que parece promissor à primeira vista pode não ser a resposta.

A Escolha Certa: Desvendando a Solução

Com nossa análise completa, ficou claro quais valores de x fazem a expressão x(x – 3)(x + 5)(x² + 4) ser igual a zero. Os valores são -5, 0 e 3. Cada um desses valores, quando substituído na expressão, faz com que pelo menos um dos termos se torne zero, garantindo que o produto final seja zero. A beleza da matemática, não é mesmo?

A Essência da Equação: Fatoração e Raízes

O que fizemos aqui é um exemplo clássico de como a fatoração nos ajuda a encontrar as raízes de uma equação. Raízes, nesse contexto, são os valores de x que tornam a equação igual a zero. Ao fatorar a expressão, ou seja, escrevê-la como um produto de termos, facilitamos a identificação dessas raízes. Cada termo que contém x nos dá uma possível raiz, e só precisamos verificar se ela realmente funciona.

Expandindo Nossos Horizontes Matemáticos

Este tipo de problema é fundamental para entendermos polinômios e equações algébricas. A habilidade de encontrar raízes é crucial em diversas áreas da matemática e suas aplicações, desde a física até a economia. Dominar essas técnicas nos dá uma poderosa ferramenta para resolver problemas complexos e entender o mundo ao nosso redor.

Praticando para a Perfeição: Dicas Extras

• Revise a fatoração: Se você se sente um pouco enferrujado nesse assunto, vale a pena dar uma revisada nos diferentes métodos de fatoração. Eles são a chave para simplificar muitas expressões e equações.
• Teste os valores: Sempre que encontrar possíveis raízes, teste-as na expressão original. Isso garante que você não cometa erros bobos e tenha certeza da sua resposta.
• Pense visualmente: Se possível, tente visualizar o gráfico da função correspondente à expressão. As raízes são os pontos onde o gráfico cruza o eixo x. Essa abordagem visual pode te dar uma intuição extra sobre o problema.

Conclusão: Dominando a Arte de Zerar Expressões

E aí, pessoal, chegamos ao fim da nossa jornada matemática de hoje! Desvendamos os segredos da expressão x(x – 3)(x + 5)(x² + 4) e descobrimos quais valores de x a tornam igual a zero. Vimos como analisar cada termo individualmente, testar os candidatos a zero e entender a importância da fatoração. Com este conhecimento, vocês estão prontos para enfrentar desafios matemáticos ainda maiores!

O Próximo Passo: Desafie-se!

Agora que vocês pegaram o jeito da coisa, que tal praticar um pouco mais? Procurem por expressões semelhantes e tentem encontrar suas raízes. A prática leva à perfeição, e quanto mais vocês se desafiarem, mais confiantes e habilidosos se tornarão na matemática.

Lembrem-se, a matemática não precisa ser um bicho de sete cabeças. Com a abordagem certa, um pouco de raciocínio e muita prática, vocês podem dominar qualquer desafio. E nós estamos aqui para ajudar vocês nessa jornada! Então, continuem explorando, perguntando e aprendendo. O mundo da matemática está cheio de maravilhas esperando para serem descobertas.

Para resolver este problema, vamos analisar cada um dos valores de x fornecidos e verificar como eles afetam a expressão x.(x – 3) . (x + 5) . (x² + 4). O objetivo é encontrar os valores de x que fazem com que a expressão resulte em zero. Lembre-se de que, para um produto ser igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Vamos explorar cada opção detalhadamente:

Análise Detalhada das Opções

a) x = -5

Vamos substituir x por -5 na expressão e ver o que acontece:

Expressão: x.(x – 3) . (x + 5) . (x² + 4) Substituição: (-5).(-5 – 3) . (-5 + 5) . ((-5)² + 4) Simplificação: (-5).(-8) . (0) . (25 + 4) Resultado: (-5).(-8) . (0) . (29) = 0

Quando x = -5, um dos fatores, (x + 5), se torna zero, o que faz com que toda a expressão seja igual a zero. Portanto, -5 é uma solução válida.

b) x = 0

Agora, vamos substituir x por 0 na expressão:

Expressão: x.(x – 3) . (x + 5) . (x² + 4) Substituição: (0).(0 – 3) . (0 + 5) . (0² + 4) Simplificação: (0).(-3) . (5) . (4) Resultado: 0

Quando x = 0, o primeiro fator, x, é zero, o que zera toda a expressão. Logo, 0 também é uma solução.

c) x = 3

Vamos testar x = 3:

Expressão: x.(x – 3) . (x + 5) . (x² + 4) Substituição: (3).(3 – 3) . (3 + 5) . (3² + 4) Simplificação: (3).(0) . (8) . (9 + 4) Resultado: (3).(0) . (8) . (13) = 0

Com x = 3, o fator (x – 3) se torna zero, fazendo com que a expressão completa seja zero. Assim, 3 é outra solução.

d) x = 5

Finalmente, vamos verificar x = 5:

Expressão: x.(x – 3) . (x + 5) . (x² + 4) Substituição: (5).(5 – 3) . (5 + 5) . (5² + 4) Simplificação: (5).(2) . (10) . (25 + 4) Resultado: (5).(2) . (10) . (29) = 2900

Quando x = 5, nenhum dos fatores se torna zero, e o resultado da expressão é 2900, que não é zero. Portanto, 5 não é uma solução.

Justificativa Detalhada

Para que a expressão x.(x – 3) . (x + 5) . (x² + 4) seja igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Vamos analisar cada fator individualmente:

1. Fator x: Se x = 0, então o primeiro fator é zero, e a expressão é zero.
2. Fator (x – 3): Se x – 3 = 0, então x = 3. Substituindo x por 3 na expressão, este fator se torna zero, e a expressão é zero.
3. Fator (x + 5): Se x + 5 = 0, então x = -5. Substituindo x por -5 na expressão, este fator se torna zero, e a expressão é zero.
4. Fator (x² + 4): Para que x² + 4 seja zero, x² teria que ser igual a -4. No entanto, não há números reais que, quando elevados ao quadrado, resultem em um número negativo. Portanto, este fator nunca será zero para valores reais de x.

Conclusão: As Soluções e Suas Implicações

Com base na análise detalhada, os valores de x que tornam a expressão x.(x – 3) . (x + 5) . (x² + 4) igual a zero são -5, 0 e 3. Cada um desses valores zera um dos fatores da expressão, garantindo que o produto final seja zero.

O valor x = 5 não é uma solução porque, quando substituído na expressão, nenhum dos fatores se torna zero, resultando em um produto diferente de zero.

Esta abordagem passo a passo demonstra como analisar cada fator de uma expressão para encontrar as soluções que a tornam igual a zero. Lembre-se sempre de que, em um produto, se um dos fatores é zero, o produto total também é zero. Essa é a chave para resolver problemas desse tipo!